`catan`, `catanf`, `catanl` — 복소수 아크탄젠트

실수 탄젠트의 역함수 atan은 실수축 전체에서 잘 정의되지만, 복소수로 확장하면 다가 함수가 되어 가지 자름이 필요해요. 복소 아크탄젠트를 계산하는 함수가 catan이에요.

출처: cppreference — catan

본문

catan 계열 함수는 허수축을 따라 구간 [−i,+i] 바깥에 가지 자름을 두고, 복소수 z의 복소 아크탄젠트를 계산해요.

float complex       catanf( float complex z );        // (1)  (since C99)
double complex      catan( double complex z );        // (2)  (since C99)
long double complex catanl( long double complex z );  // (3)  (since C99)

// Defined in header <tgmath.h>
#define atan( z )                                     // (4)  (since C99)

1-3) 허수축을 따라 구간 [−i,+i] 바깥에서 가지 자름을 갖는 z의 복소 아크탄젠트를 계산해요. 4) 타입 제네릭 매크로예요. z가 long double complex면 catanl, double complex면 catan, float complex면 catanf가 호출돼요. z가 실수·정수면 대응하는 실수 함수(atanf, atan, atanl)를 호출해요. z가 허수면 atanh의 실수 버전을 호출해 공식 atan(iy) = i·atanh(y)을 구현하고, 반환 타입은 허수예요.

매개변수

매개변수	설명
`z`	복소수 인자

반환값

오류가 없으면 z의 복소 아크탄젠트를 반환하는데, 허수축 방향으로 무한히 뻗은 띠이면서 실수축 방향으로는 구간 [−π/2; +π/2] 안쪽이에요.

오류와 특수한 경우는 함수가 -I * catanh(I*z)로 구현된 것처럼 처리돼요.

Notes

역탄젠트(아크탄젠트)는 다가 함수라서 가지 자름이 필요해요. 관례적으로 허수축의 선분 (-∞i,-i)과 (+i,+∞i)에 자름을 둬요.

역탄젠트의 주값의 수학적 정의는 다음과 같아요.

atan z = -(i/2) · [ln(1 - iz) - ln(1 + iz)]

예시

가지 자름의 양쪽과 2·catan(z)가 무한대에서 어떻게 수렴하는지 확인해 보는 코드예요.

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <complex.h>

int main(void)
{
    double complex z = catan(2*I);
    printf("catan(+0+2i) = %f%+fi\n", creal(z), cimag(z));

    double complex z2 = catan(-conj(2*I)); // or CMPLX(-0.0, 2)
    printf("catan(-0+2i) (the other side of the cut) = %f%+fi\n", creal(z2), cimag(z2));

    double complex z3 = 2*catan(2*I*DBL_MAX); // or CMPLX(0, INFINITY)
    printf("2*catan(+0+i*Inf) = %f%+fi\n", creal(z3), cimag(z3));
}

출력:

catan(+0+2i) = 1.570796+0.549306i
catan(-0+2i) (the other side of the cut) = -1.570796+0.549306i
2*catan(+0+i*Inf) = 3.141593+0.000000i

첫 두 출력이 실수부 부호만 정반대인 걸로 가지 자름을 확인할 수 있고, 마지막 줄은 허수부가 무한대로 커질 때 2·catan이 π(3.141593)로 수렴한다는 걸 보여줘요.

표준 참조

C11: 7.3.5.3 The catan functions (p: 191), 7.25 (p: 373-375), G.7 (p: 545)
C99: 7.3.5.3 (p: 173), 7.22 (p: 335-337), G.7 (p: 480)

더 알아보기

복소 아크사인 casin, 복소 아크코사인 cacos와 함께 역삼각 함수군을 이뤄요.
원함수는 복소 탄젠트 ctan이에요.
복소 아크쌍곡선 탄젠트 catanh와의 관계(atan(z) = -i·atanh(iz))가 핵심이에요.
실수 아크탄젠트 atan·atanf·atanl과 비교해 보세요.
cppreference의 catan 원문에서 참조 절을 더 확인할 수 있어요.

`catan`, `catanf`, `catanl` — 복소수 아크탄젠트