복소수와 유리수
복소수와 유리수 (Complex and Rational Numbers)
줄리아는 복소수(complex number)와 유리수(rational number)를 위한 전용 타입을 기본으로 제공하고, 여기에 모든 표준 수학 연산(Mathematical Operations)과 기초 함수(Elementary Functions)를 그대로 적용할 수 있어요. 서로 다른 타입의 숫자가 섞여도 잘 동작하도록 변환(Conversion)과 승격(promotion)도 정의되어 있어서, 원시 타입이든 합성 타입이든 어떤 조합으로 연산하든 기대한 대로 동작합니다.
본문
복소수 (Complex Numbers)
전역 상수 im은 복소수 i, 즉 -1의 주제곱근(principal square root)을 나타내요. (수학자들이 쓰는 i나 공학자들이 쓰는 j는 인덱스 변수명으로 너무 흔해서, 이 전역 상수로는 채택하지 않았어요.) 줄리아는 숫자 리터럴을 식별자 옆에 붙여 계수(coefficient)로 쓸 수 있게 해 주는데, 이 덕분에 전통적인 수학 표기법처럼 편리하게 복소수를 쓸 수 있어요.
julia> 1+2im
1 + 2im
복소수로 표준 산술 연산을 모두 수행할 수 있어요.
julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im
julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im
julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im
julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im
julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im
julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im
julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im
julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im
julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im
julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413793 + 0.5172413793103449im
승격 메커니즘 덕분에 서로 다른 타입의 피연산자가 섞여도 그냥 잘 동작해요.
julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im
julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im
julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im
julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im
julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im
julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im
julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im
julia> 2im^2
-2 + 0im
julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im
리터럴 계수는 나눗셈보다 더 강하게 결합하므로, 3/4im은 3/(4*im)이고 이것은 -(3/4*im)과 같다는 점을 기억해 두세요.
복소수 값을 다루는 표준 함수들도 제공돼요.
julia> z = 1 + 2im
1 + 2im
julia> real(1 + 2im) # real part of z
1
julia> imag(1 + 2im) # imaginary part of z
2
julia> conj(1 + 2im) # complex conjugate of z
1 - 2im
julia> abs(1 + 2im) # absolute value of z
2.23606797749979
julia> abs2(1 + 2im) # squared absolute value
5
julia> angle(1 + 2im) # phase angle in radians
1.1071487177940904
항상 그렇듯이, 복소수의 절댓값(abs)은 0으로부터의 거리예요. abs2는 절댓값의 제곱을 주는데, 제곱근 계산을 피할 수 있어서 복소수에서 특히 유용해요. angle은 라디안 단위의 위상각(argument 또는 arg 함수라고도 부르죠)을 돌려줘요. 그 밖의 기초 함수(Elementary Functions)도 복소수에 모두 정의되어 있어요.
julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im
julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im
julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im
julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im
julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im
수학 함수는 실수에 적용하면 보통 실수 값을, 복소수에 적용하면 복소수 값을 반환한다는 점에 주의하세요. 예를 들어 sqrt는 -1에 적용할 때와 -1 + 0im에 적용할 때 다르게 동작해요. -1 == -1 + 0im인데도 말이죠.
julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt was called with a negative real argument but will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]
julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im
변수로 복소수를 만들 때는 리터럴 숫자 계수 표기법이 통하지 않아요. 곱셈을 명시적으로 써 줘야 합니다.
julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im
하지만 이런 방식은 권장하지 않아요. 대신 더 효율적인 complex 함수를 써서 실수부와 허수부로부터 곧바로 복소수 값을 만드는 걸 권장해요.
julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im
이렇게 하면 곱셈과 덧셈 연산을 아예 건너뜁니다.
Inf와 NaN은 특수 부동소수점 값(Special floating-point values) 절에서 설명한 대로 복소수의 실수부·허수부를 통해 전파돼요.
julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im
julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im
유리수 (Rational Numbers)
줄리아에는 정수의 정확한 비율(ratio)을 나타내는 유리수 타입이 있어요. 유리수는 // 연산자로 만들어요.
julia> 2//3
2//3
유리수의 분자·분모에 공통 인수가 있으면, 분모가 음이 아닌 가장 낮은 항(기약분수)으로 줄여져요.
julia> 6//9
2//3
julia> -4//8
-1//2
julia> 5//-15
-1//3
julia> -4//-12
1//3
정수 비율의 이런 정규화된 형태는 유일하기 때문에, 분자와 분모를 각각 비교해서 유리수의 동일성을 검사할 수 있어요. 유리수의 표준화된 분자와 분모는 numerator와 denominator 함수로 추출할 수 있어요.
julia> numerator(2//3)
2
julia> denominator(2//3)
3
표준 산술·비교 연산이 유리수에 정의되어 있으므로 분자·분모를 직접 비교할 일은 대부분 없어요.
julia> 2//3 == 6//9
true
julia> 2//3 == 9//27
false
julia> 3//7 < 1//2
true
julia> 3//4 > 2//3
true
julia> 2//4 + 1//6
2//3
julia> 5//12 - 1//4
1//6
julia> 5//8 * 3//12
5//32
julia> 6//5 / 10//7
21//25
유리수는 쉽게 부동소수점 숫자로 변환할 수 있어요.
julia> float(3//4)
0.75
유리수에서 부동소수점으로의 변환은, a==0 && b <= 0인 경우를 제외하고 임의의 정수 값 a, b에 대해 다음 항등식을 따릅니다.
julia> a = 1; b = 2;
julia> isequal(float(a//b), a/b)
true
julia> a, b = 0, 0
(0, 0)
julia> float(a//b)
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]
julia> a/b
NaN
julia> a, b = 0, -1
(0, -1)
julia> float(a//b), a/b
(0.0, -0.0)
무한 유리수 값을 만드는 것은 허용돼요.
julia> 5//0
1//0
julia> x = -3//0
-1//0
julia> typeof(x)
Rational{Int64}
하지만 NaN 유리수 값을 만들려는 시도는 유효하지 않아요.
julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]
늘 그렇듯 승격 시스템 덕분에 다른 숫자 타입과의 상호작용이 매끄러워요.
julia> 3//5 + 1
8//5
julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998
julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im
julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im
julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im
julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im
julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im
julia> 0.5 == 1//2
true
julia> 0.33 == 1//3
false
julia> 0.33 < 1//3
true
julia> 1//3 - 0.33
0.0033333333333332993
더 알아보기 (Learn more)
- julia 공식 메뉴얼 — Complex and Rational Numbers (원문)
- Mathematical Operations and Elementary Functions
- Conversion and Promotion
- Numbers
복소수는 im이라는 전역 상수와 리터럴 계수 표기법 덕분에 수학 표기 그대로 쓸 수 있고, 유리수는 //로 정확한 비율을 표현한다는 점에 초점을 맞춰 직접 확인해 보면 헷갈리는 부분이 자연스럽게 정리돼요. 실수처럼 보여도 sqrt(-1)이 오류를 내는 이유, complex 함수로 변수 기반 복소수를 만드는 이유를 코드로 직접 따라 해 보세요.