J: 선형 함수
J: 선형 함수 (Intro 25)
J 입문 25장에서는 선형 함수(linear functions)와, 그것들을 행렬 곱 mp&m으로 표현하고 역행렬로 반전하는 방법을 설명해요.
출처: 문서
본문
함수 f는 모든 인자 x와 y에 대해 f(x+y)가 (f x)+(f y)와 같을 때 선형(linear)이라 불러요. 예를 들어:
f=: 3&|. @: +: @: |.
]x=: i.# y=:2 3 5 7 11
0 1 2 3 4
x+y f x+y
2 4 7 10 15 8 4 30 20 14
(f x),:(f y) (f x)+(f y)
2 0 8 6 4 8 4 30 20 14
6 4 22 14 10
선형 함수는 다음과 같이 동등하게 정의될 수 있어요: f@:+와 +&f가 동등하면 f는 선형이에요. 예를 들어:
x f@:+ y x +&f y
8 4 30 20 14 8 4 30 20 14
f가 선형 함수이면 f y는 행렬 곱 mp&M y로 표현될 수 있어요. 여기서:
mp=: +/ . *
M=: f I=: = i.#y I is an identity matrix
mp&M y
6 4 22 14 10
f y
6 4 22 14 10
역으로, m이 차수 #y의 임의의 정사각 행렬이면 m&mp는 y에 대한 선형 함수이고, m이 가역적(invertible)이면 (%.m)&mp이 그 역이에요:
x=: 1 2 3 [ y=: 2 3 5
]m=: ?. 3 3$9
3 8 8
4 2 0
2 7 4
]n=: %. m
0.0909091 0.272727 _0.181818
_0.181818 _0.0454545 0.363636
0.272727 _0.0568182 _0.295455
g=: mp&m
h=: mp&n
x g@:+ y
45 90 56
x +&g y
45 90 56
g h y
2 3 5
연습문제 (Exercises)
25.1
다음 각 함수에 대해, 행렬 N에 (mp=: +/ . *) M이 함수를 행렬 N에 적용한 결과와 동등하도록 하는 행렬 M을 결정하고, N=: i. 6 6 경우에 대해 테스트해 보세요:
|.
-
+:
(4&*-2&*@|.)
2&A.